COMPENDIO COMPLETO DE CONTROL DE ROBOTS

Todas las Familias de Control Exigibles en Exámenes: Articular (P, PD, PD+G, PID, Feedforward), Multivariable (Par Calculado / CTC), Espacio Cartesiano ($J^T, J^{-1}$) y Control de Fuerza/Impedancia · E.S.I. Sevilla

1. TAXONOMÍA COMPLETA Y ÁRBOL DE DECISIÓN EN EXAMEN

En el temario y en las convocatorias oficiales de Robótica de la Universidad de Sevilla existen 4 grandes familias de control. Este árbol de decisión te indica exactamente cuál aplicar según las palabras clave del enunciado:

Familia Esquema de Control ¿Cuándo se pide en examen? (Palabras clave) Ley de Control $\boldsymbol{\tau}$
Articular 1. PD Puro Robots en el plano horizontal (sin gravedad $G=0$) o control cinemático simple. $\tau = K_p e - K_d \dot{q}$
Articular 2. PD + Compensación Gravedad "Demostrar estabilidad por Lyapunov", "eliminar error permanente con $G(q)$". $\tau = K_p e - K_d \dot{q} + \mathbf{G}(q)$
Articular 3. PID Independiente (SISO) "Control monovariable", "diseñar PID", "especificaciones $\omega_n, \xi, t_s, M_p$". $\tau = K_p e + K_d \dot{e} + K_i \int e dt$
Articular 4. PID con Prealimentación "Seguimiento dinámico de trayectorias con perturbaciones conocidas". $\tau = J \ddot{q}_d + B \dot{q}_d + \tau_{\text{PID}}$
Multivariable 5. Par Calculado (Computed Torque) "Linealización por realimentación exacta", "control multivariable no lineal". $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{M}(q)[\ddot{q}_d + K_v \dot{e} + K_p e] + \mathbf{V} + \mathbf{G}$
Cartesiano 6. Jacobiano Traspuesto ($J^T$) "Control en el extremo sin invertir cinemática", "control cinemático cartesiano". $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{J}^T(q)[K_p (x_d - x) - K_v \dot{x}] + \mathbf{G}(q)$
Cartesiano 7. Par Calculado Cartesiano "Espacio operacional dinámico de Khatib", "trayectoria cartesiana desacoplada". $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{J}^T \boldsymbol{\Lambda}(q)[\ddot{x}_d + K_v \dot{e}_x + K_p e_x] + \boldsymbol{\mu} + \mathbf{p}$
Fuerza 8. Control de Impedancia / Rigidez "Interacción suave con el entorno", "comportamiento masa-muelle virtual". $F_{\text{ext}} = M_d \ddot{e}_x + B_d \dot{e}_x + K_d e_x$
Fuerza 9. Control Híbrido Fuerza/Posición "Superficie con restricción", "matriz de selección $S$ de Raibert-Craig". $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{J}^T [S F_{\text{pos}} + (I - S) F_{\text{fuerza}}]$

2. CONTROL ARTICULAR MONOVARIABLE (SISO): DE P A PID

2.1. ¿Por qué el control PD Puro falla si hay gravedad?

Si aplicamos $\tau = K_p (q_d - q) - K_d \dot{q}$ a un eje vertical bajo gravedad ($M \ddot{q} + G(q) = \tau$):

En régimen permanente ($\ddot{q} = 0, \dot{q} = 0, q = q_{\infty}$):

$$G(q_{\infty}) = K_p (q_d - q_{\infty}) \implies e_{\infty} = q_d - q_{\infty} = \frac{G(q_{\infty})}{K_p} \neq 0$$

Conclusión de examen: El control PD puro deja un error de posición permanente no nulo proporcional al peso e inversamente proporcional a la ganancia proporcional $K_p$. Como $K_p$ no puede hacerse infinito (por saturación física de actuadores), se requieren soluciones alternativas: o bien el término integral $K_i$ (PID), o la compensación de gravedad en lazo abierto.

2.2. Control PD con Compensación de Gravedad y Demostración de Lyapunov

Se define la ley de control:

$$\mathbf{\tau} = \mathbf{K}_p (\mathbf{q}_d - \mathbf{q}) - \mathbf{K}_d \dot{\mathbf{q}} + \mathbf{G}(\mathbf{q})$$
DEMOSTRACIÓN TEÓRICA CLÁSICA DE EXAMEN (Estabilidad Asintótica Global):
Se propone la función candidata de Lyapunov basada en la energía del manipulador (cinética + elástica virtual): $$V(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}) = \frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^T \mathbf{M}(\mathbf{q}) \dot{\mathbf{q}} + \frac{1}{2} \mathbf{e}^T \mathbf{K}_p \mathbf{e} > 0 \quad (\forall (\mathbf{e}, \dot{\mathbf{q}}) \neq (\mathbf{0}, \mathbf{0}))$$ Derivando respecto al tiempo: $$\dot{V} = \dot{\mathbf{q}}^T \mathbf{M} \ddot{\mathbf{q}} + \frac{1}{2} \dot{\mathbf{q}}^T \mathbf{\dot{M}} \dot{\mathbf{q}} + \mathbf{e}^T \mathbf{K}_p \mathbf{\dot{e}}$$ De la dinámica del robot, $\mathbf{M}\ddot{\mathbf{q}} = \boldsymbol{\tau} - \mathbf{V} - \mathbf{G}$. Sustituyendo la ley de control: $$\mathbf{M}\ddot{\mathbf{q}} = \mathbf{K}_p \mathbf{e} - \mathbf{K}_d \dot{\mathbf{q}} - \mathbf{V}$$ Sustituyendo en $\dot{V}$ (recordando $\mathbf{\dot{e}} = -\dot{\mathbf{q}}$): $$\dot{V} = \dot{\mathbf{q}}^T \left[ \mathbf{K}_p \mathbf{e} - \mathbf{K}_d \dot{\mathbf{q}} - \mathbf{V} \right] + \frac{1}{2} \dot{\mathbf{q}}^T \mathbf{\dot{M}} \dot{\mathbf{q}} - \mathbf{e}^T \mathbf{K}_p \dot{\mathbf{q}}$$ Los términos $\dot{\mathbf{q}}^T \mathbf{K}_p \mathbf{e}$ se cancelan. Usando la propiedad de simetría oblicua de la robótica ($\mathbf{\dot{M}} - 2\mathbf{C}$ es antisimétrica $\implies \dot{\mathbf{q}}^T (\mathbf{\dot{M}} - 2\mathbf{C})\dot{\mathbf{q}} = 0$): $$\mathbf{\dot{V} = -\dot{\mathbf{q}}^T \mathbf{K}_d \dot{\mathbf{q}} \le 0}$$ Como $\mathbf{K}_d > 0$, $\dot{V}$ es semidefinida negativa. Por el Teorema de Invarianza de LaSalle, el único conjunto invariante donde $\dot{V} = 0$ es $\dot{\mathbf{q}} = \mathbf{0}$, lo que implica $\ddot{\mathbf{q}} = \mathbf{0} \implies \mathbf{K}_p \mathbf{e} = \mathbf{0} \implies \mathbf{e} = \mathbf{0}$.
Por tanto, el sistema es Global y Asintóticamente Estable con error de régimen permanente estrictamente CERO.

2.3. Control PID Independiente: Sintonización Analítica

Para sintonizar el PID sobre la planta desacoplada $G_i(s) = \frac{1}{J s^2 + B s}$:

$$C(s) = K_p + K_d s + \frac{K_i}{s} = \frac{K_d s^2 + K_p s + K_i}{s}$$

Ecuación de lazo cerrado igualada al polinomio deseado $(s^2 + 2\xi\omega_n s + \omega_n^2)(s + p_o)$ con $p_o = 4\omega_n$:

$$\mathbf{K_d = J(2\xi\omega_n + p_o) - B}$$ $$\mathbf{K_p = J(\omega_n^2 + 2\xi\omega_n p_o)}$$ $$\mathbf{K_i = J(p_o \omega_n^2)}$$ Si el actuador se controla por Corriente $I$ ($\tau = K_t I$ o $\tau = N K_t I$): dividir cada ganancia entre $(N K_t)$.

3. CONTROL MULTIVARIABLE POR PAR CALCULADO (COMPUTED TORQUE)

Es el estándar industrial cuando se requiere que las articulaciones sigan trayectorias dinámicas rápidas sin sufrir desvíos por inercias cruzadas o fuerzas centrífugas/Coriolis.

3.1. Estructura de Dos Lazos

  1. Lazo Interno (Linealización No Lineal): $$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{M}(\mathbf{q}) \mathbf{a}_q + \mathbf{V}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}) + \mathbf{G}(\mathbf{q})$$ Cancela exactamente todas las no-linealidades del robot físico, transformando el sistema multivariable acoplado en $n$ integradores dobles desacoplados: $\ddot{\mathbf{q}} = \mathbf{a}_q$.
  2. Lazo Externo (Aceleración Virtual Lineal PD o PID): $$\mathbf{a}_q = \ddot{\mathbf{q}}_d + \mathbf{K}_v (\dot{\mathbf{q}}_d - \dot{\mathbf{q}}) + \mathbf{K}_p (\mathbf{q}_d - \mathbf{q})$$

La dinámica del error resulta estrictamente lineal y desacoplada:

$$\ddot{\mathbf{e}} + \mathbf{K}_v \dot{\mathbf{e}} + \mathbf{K}_p \mathbf{e} = \mathbf{0}$$

Con matrices diagonales para elegir polos independientes en cada eje:

$$\mathbf{K}_p = \text{diag}(\omega_{n1}^2, \omega_{n2}^2, \dots, \omega_{nn}^2), \qquad \mathbf{K}_v = \text{diag}(2\xi_1\omega_{n1}, 2\xi_2\omega_{n2}, \dots, 2\xi_n\omega_{nn})$$

4. CONTROL EN ESPACIO CARTESIANO / OPERACIONAL (TASK-SPACE)

En muchas aplicaciones (soldadura, pintura, seguimiento visual), la consigna se especifica en coordenadas del extremo $\mathbf{x}_d = [x_d, y_d, z_d]^T$ y no en coordenadas de los motores $\mathbf{q}_d$.

4.1. Control Cartesiano por Jacobiano Traspuesto ($J^T$)

Evita tener que resolver la cinemática inversa $q = f^{-1}(x)$ o invertir matrices jacobianas singulares:

$$\mathbf{\tau} = \mathbf{J}^T(\mathbf{q}) \left[ \mathbf{K}_p (\mathbf{x}_d - \mathbf{x}(\mathbf{q})) - \mathbf{K}_v \mathbf{\dot{x}} \right] + \mathbf{G}(\mathbf{q})$$

Principio físico: El término $\mathbf{F}_{\text{virtual}} = \mathbf{K}_p (\mathbf{x}_d - \mathbf{x}) - \mathbf{K}_v \mathbf{\dot{x}}$ representa una fuerza elástica virtual que tira del extremo hacia la consigna en el espacio cartesiano. La transpuesta del Jacobiano $\mathbf{J}^T$ traduce esa fuerza cartesiana directamente a pares articulares mediante el principio de los trabajos virtuales ($\tau = J^T F$).

4.2. Control por Espacio Operacional (Formulación de Khatib)

Proyecta toda la inercia del manipulador en las coordenadas de la punta del robot:

$$\boldsymbol{\Lambda}(\mathbf{q}) = \left( \mathbf{J}(\mathbf{q}) \mathbf{M}^{-1}(\mathbf{q}) \mathbf{J}^T(\mathbf{q}) \right)^{-1}$$ $$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{J}^T(\mathbf{q}) \left[ \boldsymbol{\Lambda}(\mathbf{q})\left( \mathbf{\ddot{x}}_d + \mathbf{K}_v \mathbf{\dot{e}}_x + \mathbf{K}_p \mathbf{e}_x \right) + \boldsymbol{\mu}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}) + \mathbf{p}(\mathbf{q}) \right]$$

5. CONTROL DE INTERACCIÓN Y FUERZA CON EL ENTORNO

Cuando el robot toca una superficie rígida (mecanizado, pulido, ensamblaje), el control de posición pura es peligroso porque cualquier pequeño error genera fuerzas de contacto gigantescas que pueden romper el robot o la pieza.

5.1. Control de Rigidez e Impedancia

Se programa para que el extremo se comporte dinámicamente como un sistema masa-muelle-amortiguador virtual:

$$\mathbf{M}_d (\mathbf{\ddot{x}} - \mathbf{\ddot{x}}_d) + \mathbf{B}_d (\mathbf{\dot{x}} - \mathbf{\dot{x}}_d) + \mathbf{K}_d (\mathbf{x} - \mathbf{x}_d) = -\mathbf{F}_{\text{ext}}$$

donde $\mathbf{K}_d$ es la rigidez deseada, $\mathbf{B}_d$ el amortiguamiento y $\mathbf{M}_d$ la masa aparente.

5.2. Control Híbrido Fuerza/Posición (Raibert-Craig)

Se descompone el espacio de la tarea en dos subespacios ortogonales mediante una Matriz de Selección Diagonal $\mathbf{S}$ (con unos y ceros en la diagonal):

$$\mathbf{\tau} = \mathbf{J}^T(\mathbf{q}) \left[ \mathbf{S} \cdot \mathbf{F}_{\text{pos}} + (\mathbf{I} - \mathbf{S}) \cdot \mathbf{F}_{\text{fuerza}} \right]$$

Ejemplo: Escribir en una pizarra vertical (plano YZ). En X (perpendicular a la pizarra) hay contacto $\implies S_{xx} = 0$ (control de fuerza $F_x$). En Y y Z el movimiento es libre $\implies S_{yy} = S_{zz} = 1$ (control de posición).

6. RESUMEN: CÓMO RESPONDER EN EL EXAMEN SEGÚN LO QUE PIDAN

Pregunta de Examen Estrategia de Resolución Fórmula a plasmar
"Calcule las ganancias de un regulador PID para el eje..." 1. Extraer $J_{\text{max}} = \max M_{ii}(q)$.
2. Formar $P_{\text{des}}(s) = (s^2 + 2\xi\omega_n s + \omega_n^2)(s + 4\omega_n)$.
3. Igualar coeficientes.		 $K_d = J(2\xi\omega_n + p_o) - B$
$K_p = J(\omega_n^2 + 2\xi\omega_n p_o)$
$K_i = J(p_o \omega_n^2)$
"Tomando como señales de control las corrientes de los motores..." Sintonizar en par y dividir entre la constante de par $K_t$ (o $N K_t$). $K_{p,I} = K_p / K_t$, etc.
"¿Por qué se produce error permanente ante gravedad y cómo se anula?" Explicar que $e_{\infty} = G/K_p \neq 0$. Se anula o bien con término integral $K_i$ o sumando $\tau_{\text{grav}} = G(q)$ en lazo abierto. $\tau = \tau_{\text{PID}} + G(q)$
"Proponga un esquema de control que desacople totalmente la dinámica" Escribir la ley de control por Par Calculado (Computed Torque). $\tau = M(q)[\ddot{q}_d + K_v \dot{e} + K_p e] + V + G$
"Demuestre la estabilidad de un control articular" Demostración de Lyapunov con $V = \frac{1}{2}\dot{q}^T M \dot{q} + \frac{1}{2}e^T K_p e$, propiedad antisimétrica $\dot{M}-2C$ y LaSalle. $\dot{V} = -\dot{q}^T K_d \dot{q} \le 0$