ROBÓTICA — SEGUNDA CONVOCATORIA (SEPTIEMBRE 2018)
Resolución Oficial Detallada: Cuestión 1 (Cinemática Robot Espacial R-R-P)
ENUNCIADO OFICIAL (CUESTIÓN 1 — 3.5 PUNTOS)
Considere el robot manipulador de la figura con 3 articulaciones (2 de rotación y 1 prismática). La longitud del primer enlace es $L_1$ y la del segundo es $L_2$. El eje de la articulación 2 es perpendicular al eje que une la articulación 1 y la 2.Se pide:
1. (1.25 puntos). Obtener los parámetros de Denavit-Hartenberg (es necesario entregar un esquema que represente claramente los sistemas de referencia elegidos).
2. (1.25 puntos). Obtener las posiciones del efector final en función de las variables articulares.
3. (1.0 punto). Obtener el modelo que permite calcular las variables articulares dada una posición deseada del efector final (Cinemática Inversa - PCI).
Figura 1: Esquema cinemático tridimensional del robot R-R-P (polar/esférico) con asignación de ejes Denavit-Hartenberg.
1. ASIGNACIÓN RIGUROSA DE EJES DENAVIT-HARTENBERG (1.25 PUNTOS)
1.1. Justificación Geométrica de los Sistemas de Coordenadas
- Sistema Base $\{0\}$: Se sitúa el origen $O_0$ en la intersección del eje de giro de la primera articulación con el plano base. El eje $Z_0$ se coloca colineal con el eje de rotación de la articulación 1 (vertical hacia arriba). El eje $X_0$ se orienta en la dirección del brazo horizontal $L_1$ cuando $q_1 = 0$. El eje $Y_0$ se define completando una terna dextrógira ($X_0 \times Y_0 = Z_0$).
- Sistema $\{1\}$ (Articulación 2): El eje de giro de la articulación 2 ($E_2$) es horizontal y perpendicular a la línea que une la articulación 1 con la 2. Por tanto, se asigna $Z_1$ colineal con el eje de giro $E_2$. El origen $O_1$ se sitúa en la articulación 2. La normal común entre $Z_0$ (vertical) y $Z_1$ (horizontal perpendicular a $L_1$) es la recta que contiene al brazo horizontal $L_1$. Por convenio DH, se define $X_1$ a lo largo de dicha normal común, dirigido de $Z_0$ a $Z_1$.
- Sistema $\{2\}$ (Eslabón 2 / Elevación): La articulación 3 es prismática y se desliza a lo largo del segundo brazo (inclinado un ángulo $q_2$). Por el algoritmo de Denavit-Hartenberg, $Z_2$ debe situarse a lo largo del eje de traslación de la articulación prismática 3 (eje colineal con el brazo 2). Como $Z_1$ y $Z_2$ se cortan en la articulación 2, su distancia es $a_2 = 0$, y el origen $O_2$ coincide con $O_1$. El eje $X_2$ se elige perpendicular al plano formado por $Z_1$ y $Z_2$ ($X_2 = Z_1 \times Z_2$).
- Sistema $\{3\}$ (Efector Final): Se coloca el origen $O_3$ en el extremo del vástago extensible, con $Z_3$ colineal con $Z_2$ y $X_3$ paralelo a $X_2$. El desplazamiento a lo largo de $Z_2$ es la suma del tramo fijo $L_2$ más la carrera prismática $d_3$ ($d_3^* = L_2 + d_3$).
1.2. Tabla de Parámetros de Denavit-Hartenberg
| Eslabón $i$ | $\theta_i$ (giro en $Z_{i-1}$) | $d_i$ (desplazamiento en $Z_{i-1}$) | $a_i$ (distancia en $X_i$) | $\alpha_i$ (torsión en $X_i$) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $q_1$ (variable) | $0$ | $L_1$ | $+90^\circ$ |
| 2 | $q_2$ (variable) | $0$ | $0$ | $+90^\circ$ |
| 3 | $0^\circ$ | $L_2 + d_3$ (variable) | $0$ | $0^\circ$ |
2. CINEMÁTICA DIRECTA DE POSICIÓN (1.25 PUNTOS)
2.1. Matrices de Transformación Homogénea $A_i$
Aplicando la fórmula canónica de Denavit-Hartenberg proporcionada en el examen:
$$A_1 = \begin{bmatrix} \cos q_1 & 0 & \sin q_1 & L_1 \cos q_1 \\ \sin q_1 & 0 & -\cos q_1 & L_1 \sin q_1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad A_2 = \begin{bmatrix} \cos q_2 & 0 & \sin q_2 & 0 \\ \sin q_2 & 0 & -\cos q_2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & L_2 + d_3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$2.2. Matriz Total de Transformación $T_0^3 = A_1 A_2 A_3$
$$T_0^3 = \begin{bmatrix} \cos q_1 \cos q_2 & \sin q_1 & \cos q_1 \sin q_2 & \mathbf{\left(L_1 + (L_2 + d_3)\cos q_2\right)\cos q_1} \\ \sin q_1 \cos q_2 & -\cos q_1 & \sin q_1 \sin q_2 & \mathbf{\left(L_1 + (L_2 + d_3)\cos q_2\right)\sin q_1} \\ \sin q_2 & 0 & -\cos q_2 & \mathbf{(L_2 + d_3)\sin q_2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
Posición Cartesiana del Efector Final:
$$\begin{aligned}
x(q_1, q_2, d_3) &= \left[ L_1 + (L_2 + d_3)\cos q_2 \right] \cos q_1 \\
y(q_1, q_2, d_3) &= \left[ L_1 + (L_2 + d_3)\cos q_2 \right] \sin q_1 \\
z(q_1, q_2, d_3) &= (L_2 + d_3)\sin q_2
\end{aligned}$$
2.3. Jacobiano y Determinante
Derivando respecto a las coordenadas articulares $[q_1, q_2, d_3]^T$:
$$J = \begin{bmatrix} -(L_1 + (L_2 + d_3)\cos q_2)\sin q_1 & -(L_2 + d_3)\sin q_2 \cos q_1 & \cos q_2 \cos q_1 \\ (L_1 + (L_2 + d_3)\cos q_2)\cos q_1 & -(L_2 + d_3)\sin q_2 \sin q_1 & \cos q_2 \sin q_1 \\ 0 & (L_2 + d_3)\cos q_2 & \sin q_2 \end{bmatrix}$$ $$\det(J) = -(L_2 + d_3) \cdot \left[ L_1 + (L_2 + d_3)\cos q_2 \right]$$
Singularidades Físicas:
1) $L_2 + d_3 = 0$: Brazo telescópico retraído al centro de la articulación 2.
2) $L_1 + (L_2 + d_3)\cos q_2 = 0$: El efector final cruza la línea vertical del eje base $Z_0$ (pérdida de grado de libertad acimutal).
2) $L_1 + (L_2 + d_3)\cos q_2 = 0$: El efector final cruza la línea vertical del eje base $Z_0$ (pérdida de grado de libertad acimutal).
3. CINEMÁTICA INVERSA ANALÍTICA (PCI) (1.0 PUNTO)
Objetivo: Dadas las coordenadas deseadas del efector final $(x_d, y_d, z_d)$, despejar de forma unívoca y en forma cerrada las variables articulares $(q_1, q_2, d_3)$.
1. Cálculo de $q_1$ (Acimut)
Dividiendo las ecuaciones de $y$ y $x$:
$$\frac{y_d}{x_d} = \frac{\left[ L_1 + (L_2 + d_3)\cos q_2 \right] \sin q_1}{\left[ L_1 + (L_2 + d_3)\cos q_2 \right] \cos q_1} = \tan q_1$$ $$\mathbf{q_1 = \text{atan2}(y_d, x_d)}$$ (Existe una solución dorsal alternativa: $q_1' = q_1 \pm \pi$).2. Distancia Radial en el Plano Horizontal
Definiendo el radio horizontal $R_{xy}$:
$$R_{xy} = \sqrt{x_d^2 + y_d^2} = L_1 + (L_2 + d_3)\cos q_2$$ $$(L_2 + d_3)\cos q_2 = R_{xy} - L_1 = \sqrt{x_d^2 + y_d^2} - L_1$$3. Cálculo de $q_2$ (Elevación / Pitch)
Tomando el cociente entre $z_d$ y la proyección horizontal:
$$\frac{z_d}{R_{xy} - L_1} = \frac{(L_2 + d_3)\sin q_2}{(L_2 + d_3)\cos q_2} = \tan q_2$$ $$\mathbf{q_2 = \text{atan2}\left(z_d, \; \sqrt{x_d^2 + y_d^2} - L_1\right)}$$4. Carrera Prismática $d_3$
Elevando al cuadrado y sumando por Pitágoras:
$$(L_2 + d_3)^2 = \left(\sqrt{x_d^2 + y_d^2} - L_1\right)^2 + z_d^2$$ $$\mathbf{d_3 = \sqrt{\left(\sqrt{x_d^2 + y_d^2} - L_1\right)^2 + z_d^2} - L_2}$$
Condición de existencia física: $d_3 \ge 0 \iff \left(\sqrt{x_d^2 + y_d^2} - L_1\right)^2 + z_d^2 \ge L_2^2$ (el punto deseado debe estar fuera de la esfera ciega de radio $L_2$ centrada en la articulación 2).
4. RESOLUCIÓN DE CUESTIONES ADICIONALES DEL EXAMEN
Cuestión 2 (1.5 Puntos): Sensores de Navegación Móvil
| Método | C1: Resolución | C2: Frecuencia de Medida | C3: Coste |
|---|---|---|---|
| M1: Odometría con Encoders | Muy alta localmente (< 1 mm), con deriva acumulada por deslizamiento. | Muy alta (100 Hz - 1 kHz). | Muy bajo (integrado en ruedas). |
| M2: GPS Absoluto | Baja (error estándar 2 - 5 m en exteriores, inoperativo en interiores). | Baja (1 Hz - 10 Hz). | Bajo (módulo comercial estándar). |
| M3: GPS Diferencial (DGPS/RTK) | Excelente y sin deriva acumulada (1 - 2 cm). | Media (5 Hz - 20 Hz). | Alto (estación base y enlaces RF). |
Cuestión 3 (1.0 Punto): Tipos de Trayectorias Articulares
1) PTP no coordinado: Cada eje viaja a su velocidad límite; terminan en instantes distintos.
2) PTP coordinado: Se ajusta el tiempo de todos los ejes al del más lento; todos arrancan y se detienen sincronizadamente, reduciendo esfuerzos mecánicos.
3) Interpolada continua (cartesiana): Se exige que el efector recorra una línea recta o arco circular en el espacio, resolviendo cinemática inversa en tiempo real.