1. Protocolo Sistemático de Asignación de Ejes

• Asignación de Ejes Z (Regla de Oro):
  • $\mathbf{Z_0}$: Coincide con la dirección del movimiento prismático de la articulación 1. Es vertical (hacia arriba). Origen $O_0$ en la base fija.
  • $\mathbf{Z_1}$: Coincide con el eje de rotación de la articulación 2. Es vertical (hacia arriba), colineal con $Z_0$.
  • $\mathbf{Z_2}$: Coincide con el eje de giro de elevación de la articulación 3. Es horizontal y perpendicular a la barra 2.
  • $\mathbf{Z_3}$: Se toma paralelo a $Z_2$ (o a lo largo de la herramienta). Eligiendo $Z_3 \parallel Z_2$ se garantiza torsión nula $\alpha_3 = 0$.
• Asignación de Ejes X y Orígenes O:
  • $\mathbf{O_1}$ y $\mathbf{X_1}$: Como $Z_0$ y $Z_1$ son colineales, situamos el origen $O_1$ en el centro de la articulación 2 a altura $d_1 = L_1 + q_1$. El eje $X_1$ se toma paralelo a $X_0$ cuando $q_2 = 0$.
  • $\mathbf{O_2}$ y $\mathbf{X_2}$: $Z_1$ (vertical) y $Z_2$ (horizontal) se cruzan a una distancia $L_2$. Su perpendicular común es la recta a lo largo del eslabón 2. Por tanto, el eje $\mathbf{X_2}$ va a lo largo del eslabón 2, y el origen $\mathbf{O_2}$ se sitúa en la intersección de $X_2$ con el eje de giro $Z_2$ (centro de la articulación 3).
  • $\mathbf{O_3}$ y $\mathbf{X_3}$: El origen $O_3$ se sitúa en el extremo de la herramienta. El eje $\mathbf{X_3}$ va a lo largo del eslabón 3 (desde $O_2$ hacia el extremo).

2. Tabla de Parámetros de Denavit-Hartenberg (Estándar)

Matrices de Transformación Homogénea Individuales ($^{i-1}A_i$)

Aplicando la fórmula oficial de la portada del examen:

1. Cálculo de la Matriz Total $T_0^3 = A_1 A_2 A_3$

Multiplicamos primero $A_1 \cdot A_2$:

Multiplicando ahora por $A_3$:

2. Ecuaciones del Problema Cinemático Directo (PCD)

Extrayendo la cuarta columna (vector de posición $p_e = [x, y, z]^T$ del extremo):

Interpretación Geométrica Directa:

• Radio planar horizontal ($r$): La proyección horizontal del brazo es la suma de la longitud fija $L_2$ más la proyección horizontal del eslabón 3 ($L_3\cos q_3$). Es decir, $r(q_3) = L_2 + L_3\cos q_3$.
• Coordenadas en el plano $XY$: Corresponden a coordenadas polares con radio $r$ y ángulo azimutal $q_2$: $x = r\cos q_2$, $y = r\sin q_2$.
• Altura vertical $z$: La altura total es la suma de la base fija $L_1$, el desplazamiento prismático $q_1$, y la elevación vertical del eslabón 3 ($L_3\sin q_3$).

Dado un punto objetivo cartesiano $\mathbf{P_e = [x, y, z]^T}$ en el espacio de trabajo, el objetivo es determinar analíticamente todas las posibles ternas articulares $(q_1, q_2, q_3)$.

1. Desacoplo Analítico y Resolución Paso a Paso

1. Orientación Azimutal de la Base ($q_2$): Dividiendo las expresiones de $y$ y $x$: $$\frac{y}{x} = \frac{r\sin q_2}{r\cos q_2} = \tan q_2 \implies \mathbf{q_2 = \mathrm{atan2}(y, x)}$$
2. Ángulo de Elevación ($q_3$): Elevando al cuadrado y sumando las componentes horizontales: $$x^2 + y^2 = (L_2 + L_3\cos q_3)^2 (\cos^2 q_2 + \sin^2 q_2) = (L_2 + L_3\cos q_3)^2$$ Tomando la raíz cuadrada para la rama directa ($r = \sqrt{x^2+y^2} > 0$): $$\sqrt{x^2 + y^2} = L_2 + L_3\cos q_3 \implies \mathbf{\cos q_3 = \frac{\sqrt{x^2+y^2} - L_2}{L_3}}$$
   CONDICIÓN DE EXISTENCIA FÍSICA EN EL ESPACIO DE TRABAJO: $$-1 \le \frac{\sqrt{x^2+y^2} - L_2}{L_3} \le 1 \iff \mathbf{|L_2 - L_3| \le \sqrt{x^2+y^2} \le L_2 + L_3}$$ Si el radio $\sqrt{x^2+y^2}$ no cumple esta condición, el punto está fuera del alcance radial del robot.
   Calculamos el seno con la identidad pitagórica ($\sin q_3 = \pm \sqrt{1 - \cos^2 q_3}$): $$\mathbf{q_3 = \mathrm{atan2}\left( \pm \sqrt{1 - \cos^2 q_3}, \; \cos q_3 \right)}$$ Aquí surgen estrictamente DOS soluciones posibles:
   • Rama 1 (Codo Arriba / Herramienta Elevada): $\sin q_3 = +\sqrt{1 - \cos^2 q_3} \implies \mathbf{q_3^{(1)} \ge 0}$.
   • Rama 2 (Codo Abajo / Herramienta Descendente): $\sin q_3 = -\sqrt{1 - \cos^2 q_3} \implies \mathbf{q_3^{(2)} \le 0}$.
3. Carrera Prismática Vertical ($q_1$): A partir de la ecuación vertical $z = L_1 + q_1 + L_3\sin q_3$, despejamos directamente $q_1$: $$\mathbf{q_1 = z - L_1 - L_3\sin q_3}$$
   • Para la Solución 1 ($q_3^{(1)}$): $\mathbf{q_1^{(1)} = z - L_1 - L_3\sin q_3^{(1)}}$ (requiere menor elevación de la corredera).
   • Para la Solución 2 ($q_3^{(2)}$): $\mathbf{q_1^{(2)} = z - L_1 - L_3\sin q_3^{(2)}}$ (requiere mayor elevación de la corredera para compensar el eslabón apuntando hacia abajo).

2. Resumen de las 2 Soluciones Cinemáticas Inversas

Figura 2: Representación esquemática de las 2 soluciones de cinemática inversa (Codo Arriba vs Codo Abajo) para un mismo punto objetivo cartesiano.

1. Cálculo del Jacobiano de Velocidad Lineal ($J_v$)

Derivando el vector de posición $p_e(q) = [x, y, z]^T$ respecto a las variables articulares $[q_1, q_2, q_3]$:

2. Determinante del Jacobiano

Desarrollando por los elementos de la primera columna (aprovechando que sólo tiene un elemento no nulo en la fila 3):

3. Análisis Físico y Gráfico de los Puntos Singulares ($\det(J_v) = 0$)

Dado que $L_3 \ne 0$, el determinante se anula en dos condiciones físicas fundamentales:

Figura 3: Posturas singulares del manipulador PRR: Frontera exterior ($q_3=0^\circ$), frontera interior ($q_3=180^\circ$), y cruce del eje vertical ($r=0$).

Se ha implementado el script oficial Matlab/Robots_Examen/examen_octubre_2025_p2.m que verifica algebraicamente todas las expresiones y ejecuta la validación numérica cruzada de cinemática inversa:

>> examen_octubre_2025_p2
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  RESOLUCION OFICIAL: EXAMEN GITI OCTUBRE 2025 - PROBLEMA 2 (PRR)
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Ecuaciones de Cinematica Directa (Posicion del extremo):
  x(q1, q2, q3) = (L2 + L3*cos(q3))*cos(q2)
  y(q1, q2, q3) = (L2 + L3*cos(q3))*sin(q2)
  z(q1, q2, q3) = L1 + L3*sin(q3) + q1

Comprobacion en HOME (q1=0, q2=0, q3=0):
  x_home = L2 + L3  (Correcto)
  y_home = 0        (Correcto)
  z_home = L1       (Correcto)

Determinante del Jacobiano det(J_v):
  det(J_v) = L3*(L2 + L3*cos(q3))*sin(q3)

--- COMPROBACION NUMERICA DE VALIDACION CRUZADA ---
Punto objetivo fijado: P_des = [4.00; 3.00; 5.00] m
Parametros: L1=2.00, L2=3.50, L3=3.00 m

SOLUCION 1 (Codo Arriba):
  q1 = 0.4000 m
  q2 = 0.6435 rad (36.87 deg)
  q3 = 1.0472 rad (60.00 deg)
  Verificacion P_rec1: [4.0000, 3.0000, 5.0000] m  --> Error: 0.00e+00 m

SOLUCION 2 (Codo Abajo):
  q1 = 5.5962 m
  q2 = 0.6435 rad (36.87 deg)
  q3 = -1.0472 rad (-60.00 deg)
  Verificacion P_rec2: [4.0000, 3.0000, 5.0000] m  --> Error: 0.00e+00 m

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  COMPROBACION COMPLETADA EXITOSAMENTE SIN ERRORES
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