CUESTIÓN 1: FUNCIONAMIENTO Y PRINCIPIO DEL SINCRO-RESOLVER (1.0 PUNTO)

1.1. Principio Físico y Qué Mide

El Sincro-Resolver (o simplemente Resolver) es un sensor de posición angular analógico de tipo inductivo. Mide: La posición angular absoluta continua ($\theta$) del rotor a lo largo de una vuelta completa ($0 \le \theta < 2\pi$), o múltiplos según el número de pares de polos.

1.2. Constitución Electromagnética y Ecuaciones

Consta de un transformador rotativo formado por:

• Rotor (Devanado primario/excitación): Bobinado excitado mediante una señal senoidal de alta frecuencia (portadora, típicamente de $400\text{ Hz}$ a $10\text{ kHz}$): $$V_R(t) = V_0 \sin(\omega t)$$
• Estator (Devanados secundarios): Dos bobinas desacopladas y desfasadas geométricamente $90^\circ$ espaciales entre sí. Por la ley de inducción electromagnética de Faraday, el acoplamiento magnético mutuo varía proporcionalmente al seno y coseno del ángulo de giro mecánico $\theta$: $$V_{S1}(t) = K \cdot V_0 \sin(\omega t) \cdot \sin(\theta)$$ $$V_{S2}(t) = K \cdot V_0 \sin(\omega t) \cdot \cos(\theta)$$ donde $K$ es la relación de transformación del acoplamiento inductivo.

1.3. Demodulación y RDC (Resolver-to-Digital Converter)

CUESTIÓN 2: TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA ENTRE MARCOS {U} Y {A} (1.0 PUNTO)

Figura 1: Representación espacial de los marcos {U} y {A} con cotas y ángulos de orientación.

2.1. Determinación del Vector de Posición $p_U^A$

Observando las cotas desde el origen de $\{U\}$ hasta el origen de $\{A\}$: - Desplazamiento a lo largo de $Y_U$: $+10$ unidades.
- Desplazamiento a lo largo de la dirección perpendicular a $Y_U$ en el plano horizontal: la cota de valor $2$ se dirige en sentido contrario al eje $X_U$ (hacia el fondo): $-2$ unidades en $X_U$.
- Desplazamiento vertical $Z_U$: $0$ unidades.
$$p_U^A = \begin{bmatrix} -2 \\ 10 \\ 0 \end{bmatrix}$$

2.2. Determinación de la Matriz de Rotación $R_U^A$

Las columnas de $R_U^A = [x_A^{(U)}, y_A^{(U)}, z_A^{(U)}]$ son las componentes de los vectores unitarios de $\{A\}$ expresados en la base $\{U\}$:

• Eje $y_A$: Apunta vertical hacia arriba, colineal con $z_U$: $$y_A^{(U)} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$
• Eje $x_A$: Está en el plano horizontal y forma un ángulo de $30^\circ$ con la dirección de $Y_U$: $$x_A^{(U)} = \begin{bmatrix} \sin(30^\circ) \\ \cos(30^\circ) \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 0.5 \\ 0.866 \\ 0 \end{bmatrix}$$
• Eje $z_A$: Por la regla de la mano derecha en un sistema dextrógiro ($z_A = x_A \times y_A$): $$z_A^{(U)} = x_A^{(U)} \times y_A^{(U)} = \begin{bmatrix} 0.5 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -0.5 \\ 0 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 0.866 \\ -0.5 \\ 0 \end{bmatrix}$$

2.3. Instrucciones en MATLAB

%% Cálculo de la transformación T_UA en MATLAB:
% Método 1: Construcción analítica directa
R_UA = [sin(pi/6),  0,  cos(pi/6);
        cos(pi/6),  0, -sin(pi/6);
        0,          1,          0];
p_UA = [-2; 10; 0];
T_UA = [R_UA, p_UA; 0, 0, 0, 1];

% Método 2: Composición mediante Robotics Toolbox (giros canónicos):
% Traslación inicial + Rotación en X de +90º + Rotación en el nuevo Y de -60º
T_UA_toolbox = transl(-2, 10, 0) * trotx(pi/2) * troty(-pi/3);

CUESTIÓN 3: DEMOSTRACIÓN DEL DESACOPLO DINÁMICO POR REDUCTORAS (1.0 PUNTO)

3.1. Relaciones Cinemáticas y Energéticas del Accionamiento Indirecto

En un robot manipulador con accionamiento indirecto, los motores están conectados a los eslabones a través de cajas reductoras con relación de transmisión $r_i \gg 1$ ($r_i = \dot{q}_{m,i} / \dot{q}_i$, habitualmente $50 \le r_i \le 200$). En forma matricial: $$q_m = R \cdot q \iff q = R^{-1} q_m, \quad \text{con } R = \text{diag}(r_1, r_2, \dots, r_n)$$

Por el principio de los trabajos virtuales (conservación de la potencia mecánica despreciando pérdidas): $$\tau_m^T \dot{q}_m = \tau^T \dot{q} \iff \tau = R \tau_m \iff \tau_m = R^{-1} \tau$$

3.2. Ecuación Dinámica Referida al Eje del Motor

La dinámica en el espacio de los eslabones viene descrita por la ecuación de Euler-Lagrange: $$M(q)\ddot{q} + C(q, \dot{q})\dot{q} + G(q) = \tau$$ Sustituyendo $\tau = R \tau_m$ y considerando la inercia propia y rozamiento de los rotores de los motores ($J_m \ddot{q}_m + B_m \dot{q}_m$): $$\tau_m = (J_m + R^{-1} M(q) R^{-1})\ddot{q}_m + (B_m + R^{-1} C(q,\dot{q}) R^{-1})\dot{q}_m + R^{-1} G(q)$$ Definimos la matriz de inercia equivalente efectiva vista por los motores: $$M_{\text{eq}}(q) = J_m + R^{-1} M(q) R^{-1}$$

3.3. Análisis del Orden de Magnitud para Reductoras Elevadas ($r_i \gg 1$)

Dado que $R^{-1} = \text{diag}\left(\frac{1}{r_1}, \frac{1}{r_2}, \dots, \frac{1}{r_n}\right)$, desarrollemos los términos elemento a elemento: