CUESTIÓN 1: GENERADOR DE TRAYECTORIAS RECTAS CARTESIANAS (1.0 PUNTO)

1.1. Arquitectura y Fases del Generador

El generador de trayectorias en control cinemático opera desacoplando la planificación espacial cartesiana y el mapeo a variables articulares mediante las siguientes etapas:

1.2. Estructura del Programa en MATLAB / Pseudocódigo

function [qr, qdr, qddr] = generador_recta_cartesianas(pi, pf, T, N)
  % pi, pf: [3x1] vectores posición inicial y final cartesianos
  % T: tiempo total de maniobra; N = 10 puntos de evaluación
  t = linspace(0, T, N)';
  tau = t / T;
  s = 3*tau.^2 - 2*tau.^3;          % Ley de avance suave cúbico
  sd = (6*tau - 6*tau.^2) / T;      % Derivada primera
  sdd = (6 - 12*tau) / (T^2);       % Derivada segunda

  qr = zeros(N, 3); qdr = zeros(N, 3); qddr = zeros(N, 3);

  for k = 1:N
      pk = pi + s(k) * (pf - pi);
      vk = sd(k) * (pf - pi);
      ak = sdd(k) * (pf - pi);

      % 1. Posición articular mediante cinemática inversa
      qr(k, :) = cinematica_inversa_3gdl(pk);

      % 2. Velocidad articular mediante el Jacobiano
      J = jacobiano_geometrico(qr(k, :));
      qdr(k, :) = (J \ vk)';

      % 3. Aceleración articular
      Jdot_qdot = jacobiano_derivada(qr(k, :), qdr(k, :)) * qdr(k, :)';
      qddr(k, :) = (J \ (ak - Jdot_qdot))';
  end
end

CUESTIÓN 2: TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA $T_0^1$ EN RAMPA (1.0 PUNTO)

Figura 1: Prisma triangular de base 4, profundidad 2 y altura 3, con marcos {0} y {1}.

2.1. Vector de Posición del Origen de {1}

El marco $\{0\}$ se sitúa en el vértice inferior frontal de la base, mientras que $\{1\}$ se ubica en el vértice superior posterior de la rampa: $$p_0^1 = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$$

2.2. Matriz de Rotación $R_0^1$

La hipotenusa de la rampa en el plano $x_0 - z_0$ tiene longitud $L = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$. El ángulo de inclinación es $\theta = \arctan(3/4) \approx 36.87^\circ$, por lo que $\cos\theta = 4/5 = 0.8$ y $\sin\theta = 3/5 = 0.6$.

• Eje $y_1$: Desciende a lo largo de la hipotenusa en la rampa: $$y_1^{(0)} = \begin{bmatrix} -\cos\theta \\ 0 \\ -\sin\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.8 \\ 0 \\ -0.6 \end{bmatrix}$$
• Eje $x_1$: Normal a la rampa hacia afuera: $$x_1^{(0)} = \begin{bmatrix} -\sin\theta \\ 0 \\ \cos\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.6 \\ 0 \\ 0.8 \end{bmatrix}$$
• Eje $z_1$: Por la regla de la mano derecha en base dextrógira ($z_1 = x_1 \times y_1$): $$z_1^{(0)} = x_1^{(0)} \times y_1^{(0)} = \begin{bmatrix} -0.6 \\ 0 \\ 0.8 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -0.8 \\ 0 \\ -0.6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -0.6(-0.6) - 0.8(-0.8) \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$$ (Si el eje $z_1$ apunta hacia el interior en la dirección positiva de $y_0$, entonces $z_1 = [0, 1, 0]^T$ y $x_1 = [0.6, 0, -0.8]^T$).

CUESTIÓN 3: DEMOSTRACIÓN DEL DESACOPLO DINÁMICO POR REDUCTORAS (1.0 PUNTO)

3.1. Ecuaciones Dinámicas con Relación de Transmisión

En un robot con accionamiento indirecto, los motores se acoplan a las articulaciones mediante reductores de engranajes con relación $r_i \gg 1$ ($r_i = \dot{q}_{m,i} / \dot{q}_i$). En notación vectorial: $$q_m = R\, q \iff q = R^{-1} q_m, \qquad R = \text{diag}(r_1, r_2, \dots, r_n)$$ Por conservación de la potencia mecánica transmitida: $\tau = R\, \tau_m \iff \tau_m = R^{-1} \tau$.

3.2. Proyección al Eje del Motor

La dinámica completa del manipulador formulada en el espacio de los motores ($q_m$) resulta: $$\tau_m = M_{\text{eq}}(q)\,\ddot{q}_m + C_{\text{eq}}(q, \dot{q})\,\dot{q}_m + G_{\text{eq}}(q)$$ donde los tensores reflejados son: $$M_{\text{eq}}(q) = J_m + R^{-1} M(q) R^{-1} = \text{diag}(J_{m1}, \dots, J_{mn}) + \begin{bmatrix} \frac{M_{11}(q)}{r_1^2} & \frac{M_{12}(q)}{r_1 r_2} & \dots \\ \frac{M_{21}(q)}{r_2 r_1} & \frac{M_{22}(q)}{r_2^2} & \dots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}$$

3.3. Justificación Asintótica y Desacoplamiento