RESOLUCIÓN OFICIAL PASO A PASO

Examen Convocatoria Ordinaria (8 Julio 2025) — Problema A (3.5 Puntos)

Grado en Ing. Tecnologías Industriales

Escuela Superior de Ingenieros de Sevilla

Asignatura: Robótica

ENUNCIADO ORIGINAL DE EXAMEN:
"Dado el manipulador plano de la figura (R-P-R con articulación 1 giratoria $q_1$, articulación 2 prismática $q_2$ sobre corredera perpendicular y articulación 3 giratoria $q_3$ en muñeca con herramienta de longitud $L_3$), se pide:
1. Establecer el sistema de coordenadas, calcular los parámetros D-H de cada articulación y la matriz de transformación resultante. Defina la posición HOME que se corresponde cuando $q_1=0, q_2=0, q_3=0$.
2. Escribir las ecuaciones (PCD) correspondientes a un punto genérico $(x, y, \phi)$.
3. Calcular el Jacobiano del manipulador y determinar las singularidades del manipulador.
4. Calcular el problema cinemático inverso (PCI)."

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1. ASIGNACIÓN DE EJES DENAVIT-HARTENBERG Y POSICIÓN HOME

Criterio de Asignación de Ejes

Articulación 1 (Rotación $q_1$): Eje de giro vertical perpendicular al plano $\implies \mathbf{Z_0 \odot}$. Origen $O_0$ en la base. Eje $X_0$ horizontal ($X_B$).
Articulación 2 (Prismática $q_2$): Regla de Oro D-H: El eje de movimiento de una articulación prismática $i=2$ es **$\mathbf{Z_{i-1} = Z_1}$**. Por tanto, $\mathbf{Z_1}$ va a lo largo de la barra deslizante en el plano. Como el eslabón $L_1$ entra a $90^\circ$ en el casquillo, $L_1$ es exactamente la **normal común** entre $Z_0$ y $Z_1$ ($\mathbf{a_1 = L_1}$). El origen $O_1$ se sitúa en el centro del casquillo. Eje $X_1$ a lo largo de $L_1$. Torsión $\mathbf{\alpha_1 = +90^\circ}$.
Articulación 3 (Rotación $q_3$ en muñeca): Eje de giro perpendicular al plano $\implies \mathbf{Z_2 \odot}$. Como $Z_1$ (en el plano) y $Z_2$ (perpendicular) se cortan en la muñeca $\implies \mathbf{a_2 = 0}$. El avance a lo largo de $Z_1$ desde el casquillo hasta la muñeca es la variable prismática $\mathbf{d_2 = q_2}$. Origen $O_2$ en la muñeca. Torsión $\mathbf{\alpha_2 = -90^\circ}$.
Efector Final / Herramienta $\{S_3\}$: Origen $O_3$ en el extremo del efector final. Eje $Z_3 \parallel Z_2$. Eje $X_3$ a lo largo del eslabón de longitud $\mathbf{a_3 = L_3}$ con $\mathbf{\alpha_3 = 0^\circ}$.

Tabla de Parámetros D-H

Eslabón $i$	$\theta_i$ (alrededor de $Z_{i-1}$)	$d_i$ (a lo largo de $Z_{i-1}$)	$a_i$ (a lo largo de $X_i$)	$\alpha_i$ (alrededor de $X_i$)	Tipo Articular
1	$q_1$ (Variable)	$0$	$L_1$	$+90^\circ$ ($\pi/2$)	Rotación (Base)
2	$0^\circ$	$q_2$ (Variable)	$0$	$-90^\circ$ ($-\pi/2$)	Prismática (Corredera)
3	$q_3$ (Variable)	$0$	$L_3$	$0^\circ$	Rotación (Muñeca)

Matrices Homogéneas Elementales y Matriz Resultante

$$A_1 = \begin{bmatrix} \cos q_1 & 0 & \sin q_1 & L_1 \cos q_1 \\ \sin q_1 & 0 & -\cos q_1 & L_1 \sin q_1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & q_2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad A_3 = \begin{bmatrix} \cos q_3 & -\sin q_3 & 0 & L_3 \cos q_3 \\ \sin q_3 & \cos q_3 & 0 & L_3 \sin q_3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ $$T_0^3 = A_1 A_2 A_3 = \begin{bmatrix} \cos(q_1+q_3) & -\sin(q_1+q_3) & 0 & \mathbf{L_1 \cos q_1 + q_2 \sin q_1 + L_3 \cos(q_1+q_3)} \\ \sin(q_1+q_3) & \cos(q_1+q_3) & 0 & \mathbf{L_1 \sin q_1 - q_2 \cos q_1 + L_3 \sin(q_1+q_3)} \\ 0 & 0 & 1 & \mathbf{0} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

DEFINICIÓN DE LA POSICIÓN HOME ($q_1 = 0, q_2 = 0, q_3 = 0$):
Sustituyendo $q_1=0, q_2=0, q_3=0$ en la matriz $T_0^3$: $$T_{\text{HOME}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \mathbf{L_1 + L_3} \\ 0 & 1 & 0 & \mathbf{0} \\ 0 & 0 & 1 & \mathbf{0} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \implies \mathbf{x_{\text{HOME}} = L_1 + L_3, \quad y_{\text{HOME}} = 0, \quad \phi_{\text{HOME}} = 0^\circ}$$ Configuración física: El eslabón 1 reposa horizontal a lo largo del eje $X_B$, la corredera se sitúa en $q_2=0$ (muñeca justo en el casquillo), y el eslabón 3 se extiende colinealmente en horizontal, alcanzando la posición cartesiana $(L_1+L_3, 0)$.

2. PROBLEMA CINEMÁTICO DIRECTO (PCD)

Extrayendo las componentes de posición del extremo y la orientación angular en el plano a partir de $T_0^3$:

ECUACIONES DEL PCD PARA UN PUNTO GENÉRICO $(x, y, \phi)$: $$\mathbf{x(q_1, q_2, q_3) = L_1 \cos(q_1) + q_2 \sin(q_1) + L_3 \cos(q_1 + q_3)}$$ $$\mathbf{y(q_1, q_2, q_3) = L_1 \sin(q_1) - q_2 \cos(q_1) + L_3 \sin(q_1 + q_3)}$$ $$\mathbf{\phi(q_1, q_2, q_3) = q_1 + q_3}$$

3. MATRIZ JACOBIANA Y DETERMINACIÓN DE SINGULARIDADES

Derivando el vector de estado operacional $p = [x, y, \phi]^T$ respecto a las variables articulares $q = [q_1, q_2, q_3]^T$:

$$J(q) = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial q_1} & \frac{\partial x}{\partial q_2} & \frac{\partial x}{\partial q_3} \\ \frac{\partial y}{\partial q_1} & \frac{\partial y}{\partial q_2} & \frac{\partial y}{\partial q_3} \\ \frac{\partial \phi}{\partial q_1} & \frac{\partial \phi}{\partial q_2} & \frac{\partial \phi}{\partial q_3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -L_1 \sin q_1 + q_2 \cos q_1 - L_3 \sin(q_1+q_3) & \sin q_1 & -L_3 \sin(q_1+q_3) \\ L_1 \cos q_1 + q_2 \sin q_1 + L_3 \cos(q_1+q_3) & -\cos q_1 & L_3 \cos(q_1+q_3) \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Cálculo del Determinante del Jacobiano

Restando la columna 3 a la columna 1 para anular el último elemento de la tercera fila:

$$\det(J) = \det \begin{bmatrix} -L_1 \sin q_1 + q_2 \cos q_1 & \sin q_1 & -L_3 \sin(q_1+q_3) \\ L_1 \cos q_1 + q_2 \sin q_1 & -\cos q_1 & L_3 \cos(q_1+q_3) \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ $$\det(J) = 1 \cdot \left[ (-L_1 \sin q_1 + q_2 \cos q_1)(-\cos q_1) - (L_1 \cos q_1 + q_2 \sin q_1)(\sin q_1) \right] = -q_2 (\cos^2 q_1 + \sin^2 q_1) = \mathbf{-q_2}$$

CONDICIÓN DE SINGULARIDAD: $$\mathbf{\det(J) = 0 \iff q_2 = 0}$$

Interpretación Física de la Singularidad:

Cuando la variable prismática se anula ($\mathbf{q_2 = 0}$), la articulación de la muñeca $O_2$ coincide exactamente con el casquillo perpendicular al eslabón 1.
En esa posición, el vector velocidad producido por el giro de la base $\dot{q}_1$ es perpendicular a $L_1$, que es exactamente **la misma dirección a lo largo de la cual traslada la corredera** ($\dot{q}_2$).
Por tanto, ambas articulaciones producen movimiento instantáneo colineal en la misma dirección, perdiéndose la independencia de rangos y quedando el manipulador bloqueado para generar velocidad pura a lo largo del eslabón $L_1$.

4. PROBLEMA CINEMÁTICO INVERSO (PCI)

Dada la pose objetivo $(x, y, \phi)$, se calculan de forma analítica exacta las variables articulares $(q_1, q_2, q_3)$:

Paso 1: Desacoplo de la Muñeca (Posición $x_w, y_w$)

Como $\phi = q_1 + q_3$ es un dato conocido, podemos restar la herramienta $L_3$ de la posición deseada:

$$x_w = x - L_3 \cos\phi = L_1 \cos q_1 + q_2 \sin q_1$$ $$y_w = y - L_3 \sin\phi = L_1 \sin q_1 - q_2 \cos q_1$$

Paso 2: Despeje de la Articulación Prismática $q_2$

Elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro las ecuaciones de la muñeca:

$$x_w^2 + y_w^2 = (L_1 \cos q_1 + q_2 \sin q_1)^2 + (L_1 \sin q_1 - q_2 \cos q_1)^2 = L_1^2 + q_2^2$$

$$\mathbf{q_2 = \pm \sqrt{x_w^2 + y_w^2 - L_1^2}}$$ Condición de alcance: $x_w^2 + y_w^2 \ge L_1^2$ (el punto de la muñeca debe estar a una distancia mayor o igual que la longitud $L_1$).

Paso 3: Despeje de la Articulación de la Base $q_1$

Reescribiendo matricialmente el sistema desacoplado:

$$\begin{bmatrix} x_w \\ y_w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L_1 & q_2 \\ -q_2 & L_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos q_1 \\ \sin q_1 \end{bmatrix}$$

Invertiendo la matriz de coeficientes ortogonal escalada (determinante $L_1^2 + q_2^2$):

$$\begin{bmatrix} \cos q_1 \\ \sin q_1 \end{bmatrix} = \frac{1}{L_1^2 + q_2^2} \begin{bmatrix} L_1 & -q_2 \\ q_2 & L_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_w \\ y_w \end{bmatrix} = \frac{1}{L_1^2 + q_2^2} \begin{bmatrix} L_1 x_w - q_2 y_w \\ q_2 x_w + L_1 y_w \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{q_1 = \text{atan2}\left( q_2 x_w + L_1 y_w, \; L_1 x_w - q_2 y_w \right)}$$

Paso 4: Despeje de la Articulación de la Muñeca $q_3$

$$\mathbf{q_3 = \phi - q_1}$$

Total de soluciones: Existen **2 soluciones cinemáticas completas** para cada pose admisible, correspondientes a los dos signos $(\pm)$ del valor de la extensión $q_2$.