RESOLUCIÓN OFICIAL: PROBLEMA 3 (1.5 PUNTOS)

Examen 3ª Convocatoria (11 Diciembre 2019) — Dinámica de Newton-Euler

Grado en Ing. Tecnologías Industriales

Escuela Superior de Ingenieros de Sevilla

Asignatura: Robótica

ENUNCIADO ORIGINAL:
"Sea el robot de la figura adjunta. Calcular los parámetros dinámicos del eslabón 2 que se tendrían que introducir en el algoritmo de Newton-Euler utilizado en clase para poder obtener un modelo dinámico del robot. Para ello, considérese que los eslabones están construidos con varillas macizas de sección circular radio $R = 0.05\text{ m}$ y de densidad lineal $\rho = 1.5\text{ kg/m}$."
Fórmulas aportadas en el examen: $I = \frac{1}{12}ML^2$ (eje perpendicular al centro de varilla), $I = \frac{1}{2}MR^2$ (eje longitudinal de cilindro macizo).

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RESOLUCIÓN RIGUROSA DE LOS PARÁMETROS DINÁMICOS

Para incorporar el Eslabón 2 en el algoritmo recursivo de Newton-Euler utilizado en clase (ver plantilla oficial NE_R3GDL.m), se requieren exactamente tres parámetros dinámicos:

1. Masa Total del Eslabón 2 ($m_2$)

El eslabón se compone de 3 varillas macizas de radio $R = 0.05\text{ m}$ y densidad lineal $\rho = 1.5\text{ kg/m}$:

Varilla 1 (inferior horizontal): longitud $l_1 = \frac{L_{2B}}{2} \implies m_1 = \rho \frac{L_{2B}}{2}$.
Varilla 2 (intermedia vertical): longitud $l_2 = L_{2A} \implies m_2 = \rho L_{2A}$.
Varilla 3 (superior horizontal): longitud $l_3 = \frac{L_{2B}}{2} \implies m_3 = \rho \frac{L_{2B}}{2}$.

$$\mathbf{m_2 = m_1 + m_2 + m_3 = \rho \left( \frac{L_{2B}}{2} + L_{2A} + \frac{L_{2B}}{2} \right) = \rho (L_{2B} + L_{2A}) = 1.5 (L_{2B} + L_{2A})\text{ kg}}$$

2. Posición del Centro de Masas ($s_{22}$ o $r_{2,c2}$)

Calculamos el centro de gravedad $C_2$ respecto al origen de la Articulación 2 ($O_1$), tomando el eje longitudinal $X$ y el vertical $Y$ ($z_c = 0$ por simetría plana):

$$x_c = \frac{m_1 \left(\frac{L_{2B}}{4}\right) + m_2 \left(\frac{L_{2B}}{2}\right) + m_3 \left(\frac{3 L_{2B}}{4}\right)}{m_2} = \frac{\rho \frac{L_{2B}^2}{2} + \rho \frac{L_{2A} L_{2B}}{2}}{\rho (L_{2B} + L_{2A})} = \mathbf{\frac{L_{2B}}{2}}$$ $$y_c = \frac{m_1 (0) + m_2 \left(\frac{L_{2A}}{2}\right) + m_3 (L_{2A})}{m_2} = \frac{\rho \frac{L_{2A}^2}{2} + \rho \frac{L_{2A} L_{2B}}{2}}{\rho (L_{2B} + L_{2A})} = \mathbf{\frac{L_{2A}}{2}}$$

Vector $s_{22}$ en el sistema local $\{S_2\}$ (con origen $O_2$ en Articulación 3 según D-H):
Como $O_2$ se sitúa a distancia $L_{2B}$ en horizontal y $L_{2A}$ en vertical respecto a $O_1$: $$\mathbf{s_{22} = \begin{bmatrix} x_c - L_{2B} \\ y_c - L_{2A} \\ z_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{L_{2B}}{2} \\ -\frac{L_{2A}}{2} \\ 0 \end{bmatrix}} \qquad \left( \text{o respecto a } O_1: \;\; \mathbf{s_{12} = \begin{bmatrix} \frac{L_{2B}}{2} \\ \frac{L_{2A}}{2} \\ 0 \end{bmatrix}} \right)$$

3. Tensor de Inercia respecto al Centro de Masas ($I_{22}$ o $I_{c2}$)

Aplicamos el Teorema de Steiner (ejes paralelos) sumando las 3 varillas respecto al centro de masas global $C_2$: $$I_{xx} = \sum_{k=1}^3 \left( I_{xx, c_k} + m_k (y_k^2 + z_k^2) \right), \quad I_{yy} = \sum_{k=1}^3 \left( I_{yy, c_k} + m_k (x_k^2 + z_k^2) \right), \quad I_{zz} = \sum_{k=1}^3 \left( I_{zz, c_k} + m_k (x_k^2 + y_k^2) \right)$$ donde las inercias baricéntricas de cada varilla son:

Varillas horizontales 1 y 3 (longitud $l = L_{2B}/2$ a lo largo de $X$): $I_{xx,c} = \frac{1}{2}m_1 R^2$, $I_{yy,c} = I_{zz,c} = \frac{1}{12}m_1 (L_{2B}/2)^2$.
Varilla vertical 2 (longitud $l = L_{2A}$ a lo largo de $Y$): $I_{yy,c} = \frac{1}{2}m_2 R^2$, $I_{xx,c} = I_{zz,c} = \frac{1}{12}m_2 L_{2A}^2$.

Desarrollando los términos de Steiner:

$$I_{xx} = 2 \left[ \frac{1}{2}m_1 R^2 + m_1 \left(\frac{L_{2A}}{2}\right)^2 \right] + \left[ \frac{1}{12}m_2 L_{2A}^2 + 0 \right] = \mathbf{\frac{\rho}{12}\left( L_{2A}^3 + 3 L_{2A}^2 L_{2B} + 6 L_{2B} R^2 \right)}$$ $$I_{yy} = 2 \left[ \frac{1}{12}m_1 \left(\frac{L_{2B}}{2}\right)^2 + m_1 \left(\frac{L_{2B}}{4}\right)^2 \right] + \left[ \frac{1}{2}m_2 R^2 \right] = \mathbf{\frac{\rho}{12}\left( L_{2B}^3 + 6 L_{2A} R^2 \right)}$$ $$I_{zz} = I_{xx} + I_{yy} - \rho R^2 \left( \frac{L_{2A} + L_{2B}}{2} \right) \approx \mathbf{\frac{\rho}{12}\left( L_{2A}^3 + 3 L_{2A}^2 L_{2B} + L_{2B}^3 \right)}$$ $$I_{xy} = 2 \cdot \left( m_1 \cdot \frac{L_{2B}}{4} \cdot \frac{L_{2A}}{2} \right) = \mathbf{\frac{\rho}{8} L_{2A} L_{2B}^2}$$

MATRIZ DE INERCIA FINAL $I_{22}$: $$\mathbf{I_{22} = \begin{bmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & 0 \\ -I_{xy} & I_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & I_{zz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\rho}{12}(L_{2A}^3 + 3L_{2A}^2 L_{2B} + 6L_{2B}R^2) & -\frac{\rho}{8}L_{2A}L_{2B}^2 & 0 \\ -\frac{\rho}{8}L_{2A}L_{2B}^2 & \frac{\rho}{12}(L_{2B}^3 + 6L_{2A}R^2) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\rho}{12}(L_{2A}^3 + 3L_{2A}^2 L_{2B} + L_{2B}^3) \end{bmatrix}}$$

4. Implementación Directa en MATLAB (Plantilla Newton-Euler)

Variable en Script `NE_R3GDL.m`	Expresión Simbólica / Numérica	Unidades
`m2`	`rho * (L2A + L2B)`	$\text{kg}$
`s22`	`[-L2B/2; -L2A/2; 0]`	$\text{m}$
`I22`	`[Ixx, -Ixy, 0; -Ixy, Iyy, 0; 0, 0, Izz]`	$\text{kg}\cdot\text{m}^2$